Supongamos que al lector le interesa por un momento (solo un momento no desespere) la cantidad de mariposas monarca que se encuentran en el santuario de Michoacan, ¿como podríamos calcular esta cantidad?
Contarlas de una por una sera algo imposible.
Ademas esto no nos sera de mucha útilidad pues cada dia nacen y mueren muchas de ellas.
Seguramente abra escuchado, o visto por su propía experiencia, que las casas de ahora son mas chicas que las de hace algunos años, claro que podemos culpar a la inflación, la devaluación del peso frente al dolar y demas cosas, pero piense en lo siguiente:
Como el lector probablemente este enterado, la población actual de seres humanos sobre la tierra se ha visto incrementada cada año, en 1980 fue de 4.453 x 10^9, en 1995 fue de 5.87 x 10^9, en el 2008 la población fue de 6.71 x 10^9.
Si la población sigue incrementandose cada ves mas, terminaremos viviendo así:
Podra darse cuenta de la importancia de contar el número de habitantes de la población de seres humanos sobre la tierra.
También sería importante contar cuantos atunes hay en el golfo de México, pues si seguimos pescandolos sin moderación se terminaran.
Ahora que tenemos su atención sobre las poblaciones de cierto individuo podríamos volver a como contar las mariposas, ya que es algo muy dificil de realizar (intentelo!)
http://www.youtube.com/watch?v=esdOp1RVy5Y&feature=related
Por eso muchos cientificos interesados en saber la cantidad total de la población de algun idividuo realizan una estimación de su cantidad, y también se realizan simulaciones de para estimar este valor a futuro, por ahora veremos las diferentes formas de modelado.
Modelos de poblaciones:El tamaño de las poblaciones de seres vivos se suele mantener en equilibrio, oscilando más o menos ampliamente en torno a un valor medio, en función de variables conocidas como la natalidad o la mortalidad, que a su vez dependen, como es de imaginar, de relaciones más complejas con otras poblaciones de otras especies, variaciones en las condiciones ambientales, etc.
El crecimiento de una población, es decir el incremento en el número de individuos que la componen en cada una de las generaciones, depende como factor importante, de la tasa de natalidad, que es característica de cada especie y es variable en función de ciertos factores ambientales, y del número de individuos reproductores de que se parte.
Si llamamos TN a la taza de natalidad y TM a la taza de mortandad.
Vemos que la poblacion despues de un tiempo se verá incrementado en N0•TN:
N1 = N0 + N0•TN = N0•(1 + TN)
Al mismo tiempo, nos damos cuenta que ocurre un hecho completamente contrario, el cual genera que cierto número de individuos mueran. La proporción de muertes respecto al total es la tasa de mortalidad TM. Luego:
N1 = N0•(1 + TN - TM)
La acción conjunta de TN y TM determinan el incremento real de N0. La diferencia entre TN y TM es la tasa intrínseca de crecimiento de una población, cuyo valor máximo se denomina como potencial biótico (r), el cual es característico de cada especie:
r = TN – TM
Teniendo en cuenta ambos factores, tenemos que el número de individuos presentes en la población en la siguiente generación será:
N1 = N0•(1 + r)
Y generalizando:
Nt = N0 (1 + r)t
Vemos que si TN-TM>0 naceran mas individuos de los que moriran y esto llevara a la población a aumentar sin limites.
A un modelo de este estilo se le llama un modelo de crecimiento exponencial.
Este tipo de modelo se da cuando no existe una circunstancia que limite el valor maximo que puede alcanzar la cantidad de individuos de una población.
Este tipo de modelos se presenta cuando por ejemplo cuando una nueva especie es introducida a un habitat en el cual esta libre de predadores y tiene alimento en abundacia, durante algun tiempo esta especie crece de manera exponencial hasta que alguna limitante se lo impide (falta de alimento por ejemplo)
Vemos pues, que los modelos exponenciales no son representativos a largo plazo de la cantidad de individuos de cierta población, para esto tenemos los:
Modelos de crecimiento logistico
En esto modelos los recursos necesarios deben ser limitados; y una consecuencia inmediata acerca de ello, es que, tanto nacimientos como muertes dependen del tamaño de la población.
En este tipo de modelos se distingue la capacidad de carga que esta ligada a los recursos del habitat y es la que determina junto a la TN y TM la cantidad de invididuos que abra atraves del tiempo de cierta población.
Hasta ahora solo hemos visto modelos en los que nos interesa la cantidad de especimenes de una especie, pero que pasa si nos interesa el caso por ejemplo de analizar la cantidad de leones en África, el lector estara de acuerdo en que la población de estos animales esta estrechamente ligada a la cantidad de zebras, antilopes, etc. que existen en ese tiempo determinado, entre menos alimento mas leones moriran de hambre, y que a su ves, la cantidad de zebras, antilopes, depende del número de leones, entre menos leones hay menos zebras y antilopes resultan comida para los leones.
Para este tipo de situación tenemos El modelo de Lotka-Volterra
En este tipo de modelo tenemos:
Dos especies, presas y predadores.
Las presas son la unica fuente de alimento de los predadores.
Incluye explicitamente la dependencia de la especie de la densidad de poblacion (modelo logistico).
No aparecen fenomenos de inmigracion o emigracion.
Vemos que entre mas real queremos hacer nuestra simulación, tenemos que incluir mas y mas complejidad.
También existen los llamados Modelos demografi cos, en estos modelos se considera de forma explicita la estructura de las edades.
Se considera la estructura de la poblacion, considerando esta como perteneciente a clases
(p. ej. 0-9 años, 10-19 años, 20-29, etc...).
donde dependiendo de la población podemos tener que los individuos mas jovenes sean mas propensos a la muerte (predación, ayunos prolongados, etc.), donde los individuos mas viejos sean mas propensos a la muerte (degeneración debido a la edad), podría ser que la especie entre los 0-9 años no sea capaz de reproducirse y entre los 20-29 tenga una fertilidad del 80%, mientras que entre los 30-39 la fertilidad decresca a un 20%.
Si le interesa mas el aspecto matemático puede visitar:
http://euler.us.es/~renato/clases/edo/files/tra-edo-edo-beamer-mod-pobla.pdf1.2 Tipos de metodos para calculo de poblaciones.
Se distinguen 2.
Muestreo y Censos
En estadística se conoce como muestreo a la técnica para la selección de una muestra a partir de una población.
Al elegir una muestra se espera conseguir que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, y a la vez obtener resultados parecidos a los que se alcanzarían si se realizase un estudio de toda la población.
Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio adecuado (que consienta no solo hacer estimaciones de la población sino estimar también los márgenes de error correspondientes a dichas estimaciones), debe cumplir ciertos requisitos. Nunca podremos estar enteramente seguros de que el resultado sea una muestra representativa, pero sí podemos actuar de manera que esta condición se alcance con una probabilidad alta.
Entre los diferentes tipos de muestreo tenemos:
- Muestreo probabilístico
- Muestreo estratificado
- Muestreo sistemático
- Muestreo por estadios múltiples
- Muestreo por conglomerados
- Muestreo de juicio
- Muestreo por cuotas
- Muestreo de bola de nieve
- Muestreo subjetivo por decisión razonada
El censo de una población estadística consiste, básicamente, en obtener el número total de individuos mediante las más diversas técnicas de conteo.
El censo es una de las operaciones estadísticas que no trabaja sobre una muestra, sino sobre la población total.
Tanto el realizar muestreo como el realizar un censo de una población tiene sus ventajas y desventajas.
El muestreo es mucho mas barato que el censo, pues nos permite realizar una estimación de una caracteristica de la población total con solo analizar a una parte de la población.
El censo apesar de que debería ser una infalible fuente de información, es el la practica dado a errores, pongamos por ejemplo el censo que se realiza en México, para llevarlo acabo se capacita a miles de encuestadores para ir a cada casa y obtener ciertos datos, pero podría ser que algunos de estos encuestadores les de "flojera" realizar todas las encuestas que les corresponde, ademas es muy dificil encuestar a gente que no tiene casa, entre otros muchos problemas que pueden surgir.
1.3 Tipos de estimacionesEl objetivo de la Estimación es determinar el valor de un parámetro poblacional en base a un estadístico muestral.
Existen 2 tipos de estimaciones, las puntuales y las estimaciones por intervalo.
La estimación puntual:
Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos de la muestra.
Estimación por intervalos:
Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:
El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza.
- Variabilidad del parámetro
Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra que prescinden de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.
Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, por tanto, menor el error, y más sujetos deberán incluirse en la muestra estudiada. Llamaremos a esta precisión E, según la fórmula E = θ2 - θ1.
2. Factores que intervienen en las poblaciones.1. DENSIDAD: La densidad de población es el tamaño del conjunto respecto a una cierta unidad de espacio. Se determina y expresa generalmente como el número de individuos, o biomasa de población, por unidad de área o volumen por ejemplo 200 arboles por hectárea.
2. NATALIDAD: Es la capacidad de incremento de la población. La tasa de natalidad equivale a la tasa de nacimientos. De hecho, se trata simplemente de un término muy amplio que abarca la producción de individuos nuevos de cualquier organismo, independiente de que los organismos en particular nazcan, eclosionen, germinen o se origine vegetativamente. La natalidad máxima (que en ocasiones se denomina absoluta o fisiológica) es la máxima producción teórica de individuos nuevos en condiciones ideales (es decir, sin factores ecológicos limitantes, de modo que la reproducción solo es limitada por factores fisiológicos) y
se trata de un valor constante para cada población. La natalidad ecológica o real (la simple “natalidad”, sin ningún calificativo) se refiere al incremento de la población, sino que varía con el tamaño y composición de edades de la misma y según las condiciones ambientales físicas.
3. MORTALIDAD: El término mortalidad se refiere a la muerte de individuos de la población. Al igual que la natalidad, la mortalidad puede expresarse como el número de individuos que mueren en un periodo determinado (muertes por tiempo), o como una tasa especifica en términos de unidades de la población total o cualquier parte de la misma.
4. TASAS DE NATALIDAD Y MORTALIDAD:Estas tasas están determinadas tanto por la especie (característica específica) como por las condiciones del medio (resistencia ambiental, capacidad de carga) y representan la cantidad de individuos que nacen por unidad de tiempo y la cantidad que muere por unidad de tiempo, respectivamente. Estos valores a su vez distinguen un tercer concepto, el de densidad poblacional que representa la cantidad de individuos que coexisten por unidad de superficie, factor indicador de la disponibilidad geográfica de los recursos.
5. MIGRACIONES
Movimientos de individuos dentro de la población. La inmigración corresponde a la entrada de nuevos individuos a la población y la emigración es la salida de individuos. Esta característica confiere a la población la propiedad de dispersión.
Para mas información sobre el tema:
http://wwwannasaldu.blogspot.com/Se realizo una simulación sobre el número de mariposas monarca.
Consideramos que la mariposa monarca pone 400 huevos, que vive entre 2 y 5 semanas, ademas de pasar 4 semanas desde la puesta de huevos hasta la salida de las mariposas. Primero consideramos un modelo en el cual solo consideramos que entre mas vieja es una mariposa es mas probable su fallecimiento, ademas que existen edades mas fertiles.
Se grafica el tiempo(en semanas) v/s el número de mariposas (incluyendo las en etapa larvaria) nacimientos y muertes
Posteriormente se simulo considerando los mismo factores anteriores ademas de incluir una restricción de área, las mariposas no pueden poner mas huevos cuando el espacio llega a su limite.
Se grafica el tiempo(en semanas) v/s el número de mariposas (incluyendo las en etapa larvaria) nacimientos y muertes
Se ha agregado al modelo anterior la fuente de alimento de las mariposas la reproducciòn de las asclepsias depende del número de mariposas así como si no hay suficiente fuente de alimento para mantener a todas las mariposas, las que no logren alimentarse moriran.
Se grafica el tiempo(en semanas) v/s el número de mariposas (incluyendo las en etapa larvaria) nacimientos y muertes.
En la segunda grafica es el tiempo v/s el numero de asclepsias, nacimientos y muertes.
Se anexa el codigo de las 3 simulaciones:
http://docs.google.com/View?id=df7zmwwm_1gvkks2f5
http://docs.google.com/View?id=df7zmwwm_3c5c8x9hs
http://docs.google.com/View?id=df7zmwwm_2hr6frxhm
Aplicaciones:
La Epidemología matemática, es el estudio de las enfermedades infeciosas afectando las poblaciones. Varios modelos de esparcimiento viral han sido propuestos y analizados, y éstos proveen resultados importantes que pueden ser aplicados a políticas de salud.
Conocer la dinámica de una población de peces implica pues conocer no sólo el tamaño y la estructura de la población, sino, lo que es más importante, implica conocer la forma y la intensidad en que ésta cambia y se renueva, se puede así implementar politicas contra la pesca de cierta especie cuando esta esta en mayor peligro, o fomentarla en ciertas fechas, por ejemplo despues de la epoca reproductiva.
Los modelos poblacionales asociados al Control Biológico resultan altamente complejos, sin embargo, se ajustan a la realidad, de manera que son capaces de predecir y describir los cambios en la densidad de los individuos en una población en un tiempo y espacio determinados, los cuales serían de gran utilidad en la aplicación de estrategias de manejo de plagas.
Atractor de Lorenz
ciudad inicial
Y aunque parecen resultados muy caoticos, es importante notar que estos solo son unos de los resultados obtenidos, por lo general, los resultados 7 de cada 10, tenían cierta estructura carateristica y para pequeños cambios a la ciudad inicial, la estructura de la ciudad final no cambiaba fuera de algunos valores.
