Caso 6: A la cola (o Viernes 15)

El caso de esta semana es presentado por:

http://www.youtube.com/watch?v=gJ9erPEfC2U
http://www.opti-stat.net/~alex/cgph/public_html/m4216/projsf97/mm1.html

El primer video es una noticia en la cual conductores de pipas de aguas negras se ven obligados a esperar entre 12 y 24 hrs para poder vaciar su pipa, y ante estos problemas hay quienes recurren a vaciarlas en lugares prohibidos.
El segundo link es un applet en el cual podemos ver la cantidad de personas que se encuentran en una linea de espera, y podemos cambiar los valores de la llegada de clientes y la velocidad en que son atendidos, así vemos que cuando llegan pocos clientes y el tiempo de servicio es muy corto no existe fila, o si es alrevez, tenemos una gran cantidad de clientes en la fila.

Para este caso se trasaron 4 metas:
1) Introducción de "Teoría de colas".
2) Distribuciones principales para teoria de colas.
3) ¿Cuando es necesario simular las colas?
4) Aplicaciones de teoria de colas.

Meta 1:
Introducción a Teoría de colas.
Como a todos nos ha pasado alguna ves, no hemos tenido que ver en la engorrosa y frustrante situación de hacer cola, ya sea en el supermercado, en la tienda de la esquina, a la hora de la repartición de las bolsitas en una fiesta, ¡en el banco en quincena! (el horroroso viernes 15), etc.

Si usted fuera el dueño de algun negocio, le importarian a menor o mayor grado sus clientes (despues de todo ellos son los del dinero), y no querría que estos tuvieran que esperar mucho tiempo para que alguien los atendiera (podrían irse con la competencia), pero claro, para poder atenderlos mas rapido necesitariamos mas maquinas/gente/cajeros/computadoras/mesas, y para tener estos USTED tendría que pagarlos, así que nos vemos en un problema, debemos poner la cantidad justa de maquinas/cajeros/gente/computadoras/mesas/etc. para que nuestros clientes no tengan que esperar mucho para ser atendidos Y que no sea muy costoso para nosotros.

Este es un de los problemas que nos planteamos cuando queremos analizar las propiedades de una cola con Teoria de colas.


Como ya todos hemos estado en una cola, muchas de las caracteristicas de una cola nos son familiares:

Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita.
Cuando la población es finita y no relativamente muy grande, la cantidad de individuos que entran al sistema depende de la cantidad actual que estan en la cola.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola. De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

Meta 2:
Distribuciones principales para teoria de colas:
Con lo que hemos visto los unicos lugares en los cuales podemos pensar en distribuciones de probabilidad en una cola son:
El tiempo de llegada de los clientes y en el tiempo de servicio.

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo)

Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.
En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos.

El tiempo de servicio pude ser determinístico o probabilístico. Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, es la distribución exponencial.

Meta 3:
¿Cuando es necesario simular las colas?

La teoría de formación de una cola es a menudo demasiado restrictiva matemáticamente para ser capaz de modelar todas las situaciones verdaderas a nivel mundial. Por ejemplo; los modelos matemáticos a menudo asumen el número de clientes, o la capacidad de la cola infinitos, cuando es evidente que estos límites deben estar limitados.

Es cuando queremos conocer las caracteristicas de una cola con estas propiedades que es importante la simulación de una cola.

Meta 4:
Aplicaciones de teoria de colas

La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como: negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones.


Simulando una cola:
Para simular una cola necesitaremos:
Distribución en que llegan los clientes a la fila así como la media de esta distribución.
Distribución en que los clientes son atendidos, así como la media de esta distribución.

Para programar esto, lo mas natural es crear un vector en el cual tendremos a el tiempo que lleva el cliente en la cola, iremos dejando que pase el tiempo (discreto) y cuando un cliente sea atendido pues lo borramos de la cola, también tendremos una limitante en cuanto al número de clientes en la cola.

Ahora, si el lector ha sido fiel al blog talvez lo anterior hizo sonar algunas campanas, si no talvez le interese leer esto.
En el caso de las mariposas necesitabamos la tasa de natalidad de las mariposas, que seguía una distribución uniforme, la cantidad de mariposas no podía superar cierto limite (restricciones de espacio/comida), y la tasa de mortalidad de las mariposas.

Se realizo un programa que simulara una linea de espera y se corrieron varias instancias, el programa consistia en lo siguiente, se corria un loop para la cantidad de tiempo que el sistema estaría disponible (para las instancias que corrimos los tiempo estan los segundos), dentro de este loop primero se aumentaba en 1 el tiempo que llevaban los clientes en la cola y los que estaban siendo atendidos.

El proceso de llegadas de clientes se hacía con una distribución poisson con media lamnda, en la cual el valor lamnda es el número promedio de clientes que llegan en un tiempo dado.

Posteriormente si había servidores disponibles los clientes pasaban a estos y abandonaban la cola.

Luego me hubiera gustado que los servidores tubieran una distribución exponencial en cuanto al tiempo que tardaban en atender a los clientes, pero no se me ocurrio como lograr esto, lo que se hizo fue, se daba un parametro miu, que es el tiempo promedio en que se atiende a un cliente, para nuestro caso esto era dado en minutos, luego cada segundo, la probabilidad de que un cliente fuera atendido es de 1/(60*miu) (si se tardaba en promedio miu=1, en promedio esta probabilidad atenderia a un cliente cada minuto).

Como es demasiada información el poner como se fue dando la cola, solo se agregan ciertos datos relevantes.

lamnda = 2

Miu = 0.5

Servidores = 2

Maximacola = 60

tiempo = 100000 segundos ( 27 hrs)

promedio de clientes en la cola = 0.2772

Tiempo de espera promedio en la cola = 0.1549 (en minutos)

lamnda = 2

Miu = 0.75

Servidores = 2

Maximacola = 60

tiempo = 100000 segundos ( 27 hrs)

promedio de clientes en la cola = 1.4036

Tiempo de espera promedio en la cola = 0.7277 (en minutos)

lamnda = 2

Miu = 0.85

Servidores = 2

Maximacola = 60

tiempo = 100000 segundos ( 27 hrs)

promedio de clientes en la cola = 4.5065

Tiempo de espera promedio en la cola = 2.294 (en minutos)

lamnda = 2

Miu = 0.85

Servidores = 2

Maximacola = 60

tiempo = 1500000 segundos ( 416 hrs)

promedio de clientes en la cola = 5.7208

Tiempo de espera promedio en la cola = 2.88 (en minutos)

lamnda = 2

Miu = 0.89

Servidores = 2

Maximacola = 60

tiempo = 100000 segundos ( 27 hrs)

promedio de clientes en la cola = 6.1451

Tiempo de espera promedio en la cola = 3.2037 (en minutos)

lamnda = 2

Miu = 0.89

Servidores = 2

Maximacola = 60

tiempo = 900000 segundos

promedio de clientes en la cola = 6.177

Tiempo de espera promedio en la cola = 3.1145 (en minutos)

lamnda = 2

Miu = 0.89

Servidores = 2

Maximacola = 60

tiempo = 1500000 segundos

promedio de clientes en la cola = 6.4362

Tiempo de espera promedio en la cola = 3.2425 (en minutos)

De estas instancias podemos darnos cuenta que algo no salio bien :S

Si llegan 2 clientes por minuto y se atiende a un cliente en menos de un minuto y se cuentan con 2 servidores, uno esperaria que no existiera mucha cola.

Por eso realice para mismos parametros corridas de mayor tiempo, para con esto quitar la idea de que pudieron ser problemas con la aleatoriedad (un caso raro en que lleguen muchos clientes a la ves).

Aunque hay algo mal, podemos ver que en general los resultados siguen hasta cierto punto la tendencia esperada, entre mas tiempo se tarda en atender a un cliente mayor es la fila que se forma.

Cosas que se pueden agregar al programa son, que diferentes servidores tengan diferentes tiempos para servicio a cliente (alguien que apenas esta aprendiendo tarda mas)

Agregar redes de colas, en las cuales el cliente al terminar su primer servicio no necesariamente salga del sistema, si no que pase a otra cola.

Permitir la especificación en la distribución de llegadas de los clientes y en el de tiempo de servicio.

Así como permitir que el cliente que llegue no entre a la cola (si ves mucha cola en el banco mejor no entras)

Y que los clientes se fastidien de estar haciendo cola y se vallan.

En el caso de esta semana, debía crear la imagen de un árbol usando un patrón.

Ya antes había leido un articulo de como crear imagenes de árboles utilizando fractales, así que me dirigi a leer el mismo articulo, pero no lo encontre, en su defecto encontre este articulo:
http://cs.uccs.edu/~semwal/IASTED_EMS2006/ERIC_UPCHURCH/CS%20579%20Term%20Report%20-%20Upchurch.doc

Así que mi primer aproximación al problema de generar la imagen de un árbol fue la de usar la idea de fractales.

Primero empece con una idea bastante simple, crear una linea recta para el tronco, despues, a este tronco le pondríamos "ramas" que simplemente serían otras lineas rectas saliendo de la primer linea recta, estas nuevas lineas serían de longitud proporcional a la longitud del "tronco" @ veces mas pequeñas.
Luego, a las nuevas "ramas" también le crecerían ramas con longitud @ veces mas pequeñas.

El angulo en el cual las ramas crecerían de su rama padre sería generado aleatoriamente.

Como C++ es el lenguaje que mas recientemente he manejado, pues comence a programar en este lenguaje, pero para mi sorpresa C++ no incluye librerias para graficar por default, y mi intento por instalar estas librerias fueron en vano.

Así que despues empece a realizar el mismo programa en Matlab.

El programa basicamente generaba un número aleatorio y en base a ese número decidia en que lugar de la rama padre iba a crecer la rama hija (en un árbol las ramas no crecen a la misma distancia), despues generaba otro número aleatorio para conocer el angulo de inclinación de la rama hija, y como la longitud de esta rama era @ veces mas pequeña que la del padre podíamos calcular el punto final en el que iba a estar esta rama, posteriormente solo había que graficar una linea recta que uniera estos dos puntos.

Me tope con muchos problemas, puesto que la función plot, de matlab si yo soy un plot(x,y) y posteriormente hago otro plot(x2,y2), esta otra grafica no la sobrepone junto a la otra grafica, si no que solo borra la pasada y crea esta, algo muy malo para nuestro algoritmo, pues en mi algoritmo generamos cada una rama a la ves.
Despues de mucho debanarme los cesos y buscar por internet encontre una función, hold on, que lo que hace es, cuando creas una grafica y luego creas otra grafica, la vieja grafica aun aparece junto a la nueva grafica.

El problema de este metodo fue que, al generar la nueva grafica, matlab mueve el centro de la grafica a la nueva grafica, y si la grafica anterior queda fuera de toma, pues parece que a veces las desaparece.




Lo que tiene el gran problema de parecer que ciertas lineas se encuentran flotando en el aire.
Para generar esta imagen de "árbol" se inicio con un tronco de longitud 1, cada padre tenía 5 ramas, la reducción se tamaño fue de 1.8 y el numero de iteraciones fue 200.

@=1.8, hijos =7, longitudinicial=1, iteraciones = 200

En esta imagen se aprecía un claro error en nuestra simulación, tenemos ramas del arbol, que llegan mas abajo del suelo, y aunque existen algunas especies de árboles cuyas ramas se convierten en raices, este no era el objetivo de esta simulación.

@=3, hijos=15, iteraciones=200, longitudinicial=4, las ramas solo tiene angulos entre 0º y 180º

En esta imagen vemos el claro problema de las lineas fantasmas.
El lado derecho de la imagen tiene una forma mas "arbolesca".


Trabajo que futuro sería obviamente el evitar la aparición de ramas fantasmas, el de alguna forma restringir el angulo en el que crecen las ramas, por ejemplo que no puedan crecer con angulo 320º si esto hace que la rama traspase el suelo, que ramas no se atraviesen entre si.


Bueno, la almohada me susurro en que me había equivocado con lo de las ramas fantasmas.

@=2, hijos=5, iteraciones=500, longitud inicial = 2

Este ya se ve un poco mas arboleo

Un árbol sacudido por un huracan es mas facil:

@=2.5, hijos=15, iteraciones=200 y jugar con que sea mas probable que las ramas esten con cierto angulo

Algo que puede ser facilmente implementado es la creación de "hojas" al final de las ramas, esto se puede lograr creando una elipse cuyos focos esten en la rama y con una excentricidad aleatoria.

Todos mienten

Este caso es patrocinado por:

http://www.youtube.com/watch?v=h4TdK6rRBMY

http://mahalanobis.twoday.net/stories/3486587/

De ellos obtuvimos las metas siguientes:
1 Observaciones

a) Métodos

b) Factores que afectan

c) Validaciones

2 Aplicaciones y ejemplos.

Llegamos a estas, pues en el primer estimulo vemos que existe una diferencia en el comportamiento del experimento cuando se realiza con un observador a cuando se realiza sin este, mientras que en el segundo estimulo si tenemos un observador que observa el paso de los camiones "desde fuera" la medición de este sera diferente al de la persona que este esperando el camión.

Meta 1:

Observaciones

Es importante notar que no siempre querremos hacer observaciones, hay muchas actividades que pueden ser difíciles o costosas de estudiar especialmente en su ubicación original, y antes de comenzar a recopilar datos es recomendable pasar un minuto y considerar si la información necesaria podría obtener de alguna otra forma (Información en textos ya existentes, interrogar a la gente que tiene la información, estudio indirecto).

¿Por qué es importante realizar observaciones?

Hay que tener en cuenta que cuando queremos realizar una simulación, es importante el contar con datos para alimentar nuestra simulación (velocidad de un león, cantidad de ardillas rojas, nivel de natalidad de la mariposa monaca, etc.) pues sin ellos no podremos hacer nada útil.

Y la forma de obtener estos datos es a travez de observaciones (medir la velocidad del león, contar las ardillas rojas en el parque, etc.).

Como vimos el caso pasado, si queremos conocer cierta caracteristica de una población, no siempre es necesario (incluso a veces resulta imposible) el analizar a toda la población.

El problema es que dependiendo nuestro objeto de observación nuestra forma de observar puede podrucir cambios en el comportamiento normal de nuestro objeto de estudio.
Muy conocido es el llamado efecto placebo, en el cual a una persona se le da un placebo y se le dice que es una droga, esta persona siente los sintomas de la droga que se le dijo le fue suministrada.

Con esto vemos que la observación no se reduce al mero acto de medir la caracteristica de nuestro interes, sino también debemos preocuparnos por como afectara la forma en que estamos observando a nuestro sujeto.

Existen diversos tipos de formas de observar, entre ellas tenemos:

Observación Directa y la Indirecta
Es directa cuando el investigador se pone en contacto personalmente con el hecho o fenómeno que trata de investigar.
Es indirecta cuando el investigador entra en conocimiento del hecho o fenómeno observando a través de las observaciones realizadas anteriormente por otra persona. Tal ocurre cuando nos valemos de libros, revistas, informes, grabaciones, fotografías, etc., relacionadas con lo que estamos investigando, los cuales han sido conseguidos o elaborados por personas que observaron antes lo mismo que nosotros.

Observación Participante y no Participante
La observación es participante cuando para obtener los datos el investigador se incluye en el grupo, hecho o fenómeno observado, para conseguir la información "desde adentro".
Observación no participante es aquella en la cual se recoge la información desde afuera, sin intervenir para nada en el grupo social, hecho o fenómeno investigado.

Observación Sistemática y no Sistemática:
El método de observación no sistemática no requiere ningún conocimiento inicial sobre la actividad que ha de ser estudiada.
El método sería simplemente mirar lo que ocurre, y con el tiempo captar la estructura de las acciones, incluso si esto llevase algún tiempo.

La observación sistemática es factible si se tiene una idea exacta de lo que se quiere saber, el observador debe conocer el curso normal del evento que estudiara ademas de una hipotesis que explique en el evento que esta estudiando, de esta forma trata de validar su hipotesis y si suceden hechos que su hipotesis no predecía analizarlos escrupulosamente.

Observación Estructurada y No Estructurada
Observación no Estructurada llamada también simple o libre, es la que se realiza sin la ayuda de elementos técnicos especiales.

Observación estructurada es en cambio, la que se realiza con la ayuda de elementos técnicos apropiados, tales como: fichas, cuadros, tablas, etc, por lo cual se los la denomina observación sistemática.

Observación de Campo y de Laboratorio
La observación de campo es el recurso principal de la observación descriptiva; se realiza en los lugares donde ocurren los hechos o fenómenos investigados. La investigación social y la educativa recurren en gran medida a esta modalidad.
La observación de laboratorio se entiende de dos maneras: por un lado, es la que se realiza en lugares pre-establecidos para el efecto tales como los museos, archivos, bibliotecas y, naturalmente los laboratorios; por otro lado, también es investigación de laboratorio la que se realiza con grupos humanos previamente determinados, para observar sus comportamientos y actitudes.

Entre los metodos de observación tenemos:

La Entrevista
Es una técnica para obtener datos que consisten en un diálogo entre dos personas: El entrevistador "investigador" y el entrevistado; se realiza con el fin de obtener información de parte de este, que es, por lo general, una persona entendida en la materia de la investigación.

La Encuesta
La encuesta es una técnica destinada a obtener datos de varias personas cuyas opiniones impersonales interesan al investigador. Para ello se utiliza un listado de preguntas escritas que se entregan a los sujetos.
Riesgos que conlleva la aplicación de cuestionarios
a. La falta de sinceridad en las respuestas (deseo de causar una buena impresión o de disfrazar la realidad).
b. La tendencia a decir "si" a todo.
c. La sospecha de que la información puede revertirse en contra del encuestado, de alguna manera.
d. La falta de comprensión de las preguntas o de algunas palabras.
e. La influencia de la simpatía o la antipatía tanto con respecto al investigador como con respecto al asunto que se investiga.

Meta b: Posibles factores que la afectan
Como comentaba en la meta anterior, el hacer observación, no solo consiste en observar la caracteristica del sujeto deseada, también debemos garantizar hasta cierto punto que la información que estamos obteniendo sea real.

En una observación intervienen 3 entes, el observador, el observado y el instrumento de observación, entonces si queremos buscar factores que afecten la observación debemos buscar en ellos.

El instrumento de observación puede afectar la observación cuando este no esta bien calibrado (un termometro que marca mal la temperatura), cuando no se disponga de un instrumento adecuado para la medición, cuando el instrumento afecte al observado (como el detector afecta la forma en que se comporta el neutrón).

El observador puede afectar la observación con su mera presencía (afectando el comportamiento normal del observado), si realiza una observación no sistemática el observador puede pecar en su observación por ejemplo teniendo ideas preconsevidas del observador (si es transito es un tranza), o no dando suficiente tiempo para observar todos los matices de la situación. Si realiza una observación sistemática, puede que desprecie eventos importantes pues estos no se ajustan a su hipotesis.

Meta c: Validación de observaciones.
Viendo que podemos tener errores en nuestra observación debido a una gran gama de factores, una caracteristica importante de nuestra observación es que sea validable.

¿Cómo validar nuestra información?
Podemos validar nuestra información de 2 maneras diferentes, podemos realizar un Diseño de experimentos y realizar la observación en base a esto, y posteriormente realizar la prueba correspondiente.
O También, dado que ya obtuvimos los datos de alguna manera, podemos realizar una simulación de nuestro objeto de estudio usando estos datos, si los resultados obtenidos son parecidos a la realidad podemos tener mayor confianza sobre la veracidad de estos.

Existen diversos tipos de diseños de experimentos, es muy importante resaltar que aunque existen software que es capas de realizar hipotesis con base a diseños de experimentos, estos siempre debes hacer antes de realizar la observación.
Se anexa un link sobre Diseño de experimentos, para los diferentes tipos solo siga los links y no se preocupe por las formulas su software realizara todo este trabajo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Design_of_experiments

Meta 2 aplicaciones y/o ejemplos:
La observación se puede aplicar a casi cualquier cosa, pero es de especial importancia en la ciencia, como ya vimos en las metas anteriores la observación debe ser realizada siguiendo una metodología, pero fuera de eso la observación se basa en la obtención de información sobre un evento de nuestro interes.

Muchas empresas (grandes y medianas) realizan test a sus candidatos para poder catalogarlos, esta es una observación en base a sus respuestas para decidir sobre su contratación.

Dinámica de Poblaciones

Supongamos que al lector le interesa por un momento (solo un momento no desespere) la cantidad de mariposas monarca que se encuentran en el santuario de Michoacan, ¿como podríamos calcular esta cantidad?Contarlas de una por una sera algo imposible.
Ademas esto no nos sera de mucha útilidad pues cada dia nacen y mueren muchas de ellas.

Seguramente abra escuchado, o visto por su propía experiencia, que las casas de ahora son mas chicas que las de hace algunos años, claro que podemos culpar a la inflación, la devaluación del peso frente al dolar y demas cosas, pero piense en lo siguiente:
Como el lector probablemente este enterado, la población actual de seres humanos sobre la tierra se ha visto incrementada cada año, en 1980 fue de 4.453 x 10^9, en 1995 fue de 5.87 x 10^9, en el 2008 la población fue de 6.71 x 10^9.
Si la población sigue incrementandose cada ves mas, terminaremos viviendo así:

Podra darse cuenta de la importancia de contar el número de habitantes de la población de seres humanos sobre la tierra.
También sería importante contar cuantos atunes hay en el golfo de México, pues si seguimos pescandolos sin moderación se terminaran.

Ahora que tenemos su atención sobre las poblaciones de cierto individuo podríamos volver a como contar las mariposas, ya que es algo muy dificil de realizar (intentelo!)
http://www.youtube.com/watch?v=esdOp1RVy5Y&feature=related

Por eso muchos cientificos interesados en saber la cantidad total de la población de algun idividuo realizan una estimación de su cantidad, y también se realizan simulaciones de para estimar este valor a futuro, por ahora veremos las diferentes formas de modelado.

Modelos de poblaciones:

El tamaño de las poblaciones de seres vivos se suele mantener en equilibrio, oscilando más o menos ampliamente en torno a un valor medio, en función de variables conocidas como la natalidad o la mortalidad, que a su vez dependen, como es de imaginar, de relaciones más complejas con otras poblaciones de otras especies, variaciones en las condiciones ambientales, etc.
El crecimiento de una población, es decir el incremento en el número de individuos que la componen en cada una de las generaciones, depende como factor importante, de la tasa de natalidad, que es característica de cada especie y es variable en función de ciertos factores ambientales, y del número de individuos reproductores de que se parte.
Si llamamos TN a la taza de natalidad y TM a la taza de mortandad.
Vemos que la poblacion despues de un tiempo se verá incrementado en N0•TN:

N1 = N0 + N0•TN = N0•(1 + TN)

Al mismo tiempo, nos damos cuenta que ocurre un hecho completamente contrario, el cual genera que cierto número de individuos mueran. La proporción de muertes respecto al total es la tasa de mortalidad TM. Luego:

N1 = N0•(1 + TN - TM)

La acción conjunta de TN y TM determinan el incremento real de N0. La diferencia entre TN y TM es la tasa intrínseca de crecimiento de una población, cuyo valor máximo se denomina como potencial biótico (r), el cual es característico de cada especie:

r = TN – TM

Teniendo en cuenta ambos factores, tenemos que el número de individuos presentes en la población en la siguiente generación será:

N1 = N0•(1 + r)

Y generalizando:

Nt = N0 (1 + r)t

Vemos que si TN-TM>0 naceran mas individuos de los que moriran y esto llevara a la población a aumentar sin limites.
A un modelo de este estilo se le llama un modelo de crecimiento exponencial.
Este tipo de modelo se da cuando no existe una circunstancia que limite el valor maximo que puede alcanzar la cantidad de individuos de una población.
Este tipo de modelos se presenta cuando por ejemplo cuando una nueva especie es introducida a un habitat en el cual esta libre de predadores y tiene alimento en abundacia, durante algun tiempo esta especie crece de manera exponencial hasta que alguna limitante se lo impide (falta de alimento por ejemplo)

Vemos pues, que los modelos exponenciales no son representativos a largo plazo de la cantidad de individuos de cierta población, para esto tenemos los:

Modelos de crecimiento logistico
En esto modelos los recursos necesarios deben ser limitados; y una consecuencia inmediata acerca de ello, es que, tanto nacimientos como muertes dependen del tamaño de la población.
En este tipo de modelos se distingue la capacidad de carga que esta ligada a los recursos del habitat y es la que determina junto a la TN y TM la cantidad de invididuos que abra atraves del tiempo de cierta población.

Hasta ahora solo hemos visto modelos en los que nos interesa la cantidad de especimenes de una especie, pero que pasa si nos interesa el caso por ejemplo de analizar la cantidad de leones en África, el lector estara de acuerdo en que la población de estos animales esta estrechamente ligada a la cantidad de zebras, antilopes, etc. que existen en ese tiempo determinado, entre menos alimento mas leones moriran de hambre, y que a su ves, la cantidad de zebras, antilopes, depende del número de leones, entre menos leones hay menos zebras y antilopes resultan comida para los leones.

Para este tipo de situación tenemos El modelo de Lotka-Volterra
En este tipo de modelo tenemos:
Dos especies, presas y predadores.
Las presas son la unica fuente de alimento de los predadores.
Incluye explicitamente la dependencia de la especie de la densidad de poblacion (modelo logistico).
No aparecen fenomenos de inmigracion o emigracion.

Vemos que entre mas real queremos hacer nuestra simulación, tenemos que incluir mas y mas complejidad.

También existen los llamados Modelos demografi cos, en estos modelos se considera de forma explicita la estructura de las edades.
Se considera la estructura de la poblacion, considerando esta como perteneciente a clases
(p. ej. 0-9 años, 10-19 años, 20-29, etc...).
donde dependiendo de la población podemos tener que los individuos mas jovenes sean mas propensos a la muerte (predación, ayunos prolongados, etc.), donde los individuos mas viejos sean mas propensos a la muerte (degeneración debido a la edad), podría ser que la especie entre los 0-9 años no sea capaz de reproducirse y entre los 20-29 tenga una fertilidad del 80%, mientras que entre los 30-39 la fertilidad decresca a un 20%.

Si le interesa mas el aspecto matemático puede visitar:
http://euler.us.es/~renato/clases/edo/files/tra-edo-edo-beamer-mod-pobla.pdf

1.2 Tipos de metodos para calculo de poblaciones.

Se distinguen 2.
Muestreo y Censos

En estadística se conoce como muestreo a la técnica para la selección de una muestra a partir de una población.

Al elegir una muestra se espera conseguir que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, y a la vez obtener resultados parecidos a los que se alcanzarían si se realizase un estudio de toda la población.

Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio adecuado (que consienta no solo hacer estimaciones de la población sino estimar también los márgenes de error correspondientes a dichas estimaciones), debe cumplir ciertos requisitos. Nunca podremos estar enteramente seguros de que el resultado sea una muestra representativa, pero sí podemos actuar de manera que esta condición se alcance con una probabilidad alta.
Entre los diferentes tipos de muestreo tenemos:

1. Muestreo probabilístico
2. Muestreo estratificado
3. Muestreo sistemático
4. Muestreo por estadios múltiples
5. Muestreo por conglomerados
6. Muestreo de juicio
7. Muestreo por cuotas
8. Muestreo de bola de nieve
9. Muestreo subjetivo por decisión razonada

El censo de una población estadística consiste, básicamente, en obtener el número total de individuos mediante las más diversas técnicas de conteo.
El censo es una de las operaciones estadísticas que no trabaja sobre una muestra, sino sobre la población total.

Tanto el realizar muestreo como el realizar un censo de una población tiene sus ventajas y desventajas.
El muestreo es mucho mas barato que el censo, pues nos permite realizar una estimación de una caracteristica de la población total con solo analizar a una parte de la población.
El censo apesar de que debería ser una infalible fuente de información, es el la practica dado a errores, pongamos por ejemplo el censo que se realiza en México, para llevarlo acabo se capacita a miles de encuestadores para ir a cada casa y obtener ciertos datos, pero podría ser que algunos de estos encuestadores les de "flojera" realizar todas las encuestas que les corresponde, ademas es muy dificil encuestar a gente que no tiene casa, entre otros muchos problemas que pueden surgir.

1.3 Tipos de estimaciones
El objetivo de la Estimación es determinar el valor de un parámetro poblacional en base a un estadístico muestral.
Existen 2 tipos de estimaciones, las puntuales y las estimaciones por intervalo.

La estimación puntual:
Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos de la muestra.

Estimación por intervalos:
Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:

• Intervalo de confianza

El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza.

• Variabilidad del parámetro

Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra que prescinden de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.

• Error de la estimación

Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, por tanto, menor el error, y más sujetos deberán incluirse en la muestra estudiada. Llamaremos a esta precisión E, según la fórmula E = θ2 - θ1.

2. Factores que intervienen en las poblaciones.

1. DENSIDAD: La densidad de población es el tamaño del conjunto respecto a una cierta unidad de espacio. Se determina y expresa generalmente como el número de individuos, o biomasa de población, por unidad de área o volumen por ejemplo 200 arboles por hectárea.

2. NATALIDAD: Es la capacidad de incremento de la población. La tasa de natalidad equivale a la tasa de nacimientos. De hecho, se trata simplemente de un término muy amplio que abarca la producción de individuos nuevos de cualquier organismo, independiente de que los organismos en particular nazcan, eclosionen, germinen o se origine vegetativamente. La natalidad máxima (que en ocasiones se denomina absoluta o fisiológica) es la máxima producción teórica de individuos nuevos en condiciones ideales (es decir, sin factores ecológicos limitantes, de modo que la reproducción solo es limitada por factores fisiológicos) y se trata de un valor constante para cada población. La natalidad ecológica o real (la simple “natalidad”, sin ningún calificativo) se refiere al incremento de la población, sino que varía con el tamaño y composición de edades de la misma y según las condiciones ambientales físicas.

3. MORTALIDAD: El término mortalidad se refiere a la muerte de individuos de la población. Al igual que la natalidad, la mortalidad puede expresarse como el número de individuos que mueren en un periodo determinado (muertes por tiempo), o como una tasa especifica en términos de unidades de la población total o cualquier parte de la misma.

4. TASAS DE NATALIDAD Y MORTALIDAD:Estas tasas están determinadas tanto por la especie (característica específica) como por las condiciones del medio (resistencia ambiental, capacidad de carga) y representan la cantidad de individuos que nacen por unidad de tiempo y la cantidad que muere por unidad de tiempo, respectivamente. Estos valores a su vez distinguen un tercer concepto, el de densidad poblacional que representa la cantidad de individuos que coexisten por unidad de superficie, factor indicador de la disponibilidad geográfica de los recursos.

5. MIGRACIONES
Movimientos de individuos dentro de la población. La inmigración corresponde a la entrada de nuevos individuos a la población y la emigración es la salida de individuos. Esta característica confiere a la población la propiedad de dispersión.

Para mas información sobre el tema:
http://wwwannasaldu.blogspot.com/

Se realizo una simulación sobre el número de mariposas monarca.

Consideramos que la mariposa monarca pone 400 huevos, que vive entre 2 y 5 semanas, ademas de pasar 4 semanas desde la puesta de huevos hasta la salida de las mariposas. Primero consideramos un modelo en el cual solo consideramos que entre mas vieja es una mariposa es mas probable su fallecimiento, ademas que existen edades mas fertiles.

Se grafica el tiempo(en semanas) v/s el número de mariposas (incluyendo las en etapa larvaria) nacimientos y muertes

Posteriormente se simulo considerando los mismo factores anteriores ademas de incluir una restricción de área, las mariposas no pueden poner mas huevos cuando el espacio llega a su limite.

Se grafica el tiempo(en semanas) v/s el número de mariposas (incluyendo las en etapa larvaria) nacimientos y muertes

Se ha agregado al modelo anterior la fuente de alimento de las mariposas la reproducciòn de las asclepsias depende del número de mariposas así como si no hay suficiente fuente de alimento para mantener a todas las mariposas, las que no logren alimentarse moriran.

Se grafica el tiempo(en semanas) v/s el número de mariposas (incluyendo las en etapa larvaria) nacimientos y muertes.
En la segunda grafica es el tiempo v/s el numero de asclepsias, nacimientos y muertes.

Se anexa el codigo de las 3 simulaciones:
http://docs.google.com/View?id=df7zmwwm_1gvkks2f5
http://docs.google.com/View?id=df7zmwwm_3c5c8x9hs
http://docs.google.com/View?id=df7zmwwm_2hr6frxhm

Aplicaciones:

La Epidemología matemática, es el estudio de las enfermedades infeciosas afectando las poblaciones. Varios modelos de esparcimiento viral han sido propuestos y analizados, y éstos proveen resultados importantes que pueden ser aplicados a políticas de salud.

Conocer la dinámica de una población de peces implica pues conocer no sólo el tamaño y la estructura de la población, sino, lo que es más importante, implica conocer la forma y la intensidad en que ésta cambia y se renueva, se puede así implementar politicas contra la pesca de cierta especie cuando esta esta en mayor peligro, o fomentarla en ciertas fechas, por ejemplo despues de la epoca reproductiva.

Los modelos poblacionales asociados al Control Biológico resultan altamente complejos, sin embargo, se ajustan a la realidad, de manera que son capaces de predecir y describir los cambios en la densidad de los individuos en una población en un tiempo y espacio determinados, los cuales serían de gran utilidad en la aplicación de estrategias de manejo de plagas.