Control y simulación de Caos

El caso de esta semana es presentado a ustedos por:
Video 1, video 2, video 3 y video 4.

Se trazaron 4 metas:
1) Teoria del caos.
2) Simulando caos.
3) Ejemplo principal (clima).
4) Aplicaciones.

Teoria del caos:

Así como los conjutos y punto, no existe una definición universalmente aceptada de Teoria del Caos. Pero una definición usada comunmente dice que para que un sistema dinamico sea clasificado como caotico debe tener las siguientes propiedades

• Debe ser sensible a las condiciones iniciales.
• Debe ser topologicamente mezclable? (topologically mixing).
• Sus orbitas periodicas deben ser densas.

Sensibilidad a condiciones iniciales
Esto significa que cada punto en un sistema tal (caotico) que este relativamente cernano a otro, tendran trajectorias futuras significativamente diferentes, esto es, pequeños cambios iniciales repercutiran en gran manera sobre la solución final.

Una consecuenta de la sensibilidad a las condiciones iniciales es que si empesamos con una cantidad finita de información sobre el sistema (como usualmente ocurre en la practica), entonces despues de una cierta cantidad de tiempo el sistema dejara de ser predecible. Esto es muy comun en el caso del clima, que generalmente solo es predecible alrededor de una semana.

Abra notado que en nuestra definición de sensibilidad usamos la palabra relativamente cerca, una buena pregunta es, ¿qué tan cerca es cerca?
Para información mas detallada al respecto se recomienda leer sobre The Lyapunov exponent.

Topological mixing (o topological transitivity):
Se refiere a que el sistema evolucionara con el tiempo de tal manera que cualquier región o conjunto abierto de su espacio de fases, eventualmente se sobrepondran unas con otras.

Muchas veces en las visiones populares de caos se omite la idea de topological mixing, sin embargo la sensibilidad a las condiciones iniciales por si sola no implica caos.
Por ejemplo, considera el sistema dinamico producido por multiplicar por 2 el valor de un número de forma repetitiva. Este sistema tiene dependencia a las condiciones inciales, pues cualquier par de numeros cernanos eventualmente se separaran mucho. Sin embargo este ejemplo de sistema no es topological mixing, y por lo tanto no es caotico. Sino que es bastante simple, todos los puntos excepto el 0 tienden a infinito.


Density of periodic orbits
Density of periodic orbits means that every point in the space is approached arbitrarily closely by periodic orbits. Topologically mixing systems failing this condition may not display sensitivity to initial conditions, and hence may not be chaotic.

Es interesante notar que si un sistema tiene las propiedades 2 y 3, entonces el sistema sera sensible a las condiciones iniciales; mientras que si se tiene la propiedad 2 para intervalos, entonces esta condición implica a las otras 2.

Atractores.
Un atractor es un conjunto al cual un sistema dinamico evoluciona despues de un tiempo suficientemente largo. Esto es, puntos que se acercan lo suficiente al atractor, permanecen cerca incluso si sufren pequelas perturbaciones.
Para sistemas caoticos también existen atractores, estos son llamados atractores extraños


Strange attractor
Un atractor es descrito informalmente como extraño si no tiene dimensión entera (vease dimensión fractal), o si la dinamica sobre él es caotica.

Atractor de Lorenz

Los atractores son muy importantes, puesto que aunque nuestro sistema sea caotico, es una región "estable" (como un vaso con agua, sabemos que la particula de agua esta en el vaso, pero su ubicación puede variar en este).

En control de caos:
Lo unico que pude encontrar se encuentra explicado en el siguiente link

Distinguiendo entre información aleatoria e información caotica

La tecnica estandar para distinguier entre sistemas dinamicos regulares o caoticos en series de tiempo deterministas consiste en calcular el maximal Lyapunov exponente, el problema con esta prueba es que existen sistemas para los cuales no conocemos las dinamicas de este, en estos casos la recostruccion del espacio de fases es necesaria y esta reconstrucción conlleva problemas.

Un paper sobre el tema se encuentra en el proximo link
Otra forma simple de distiguir entre un sistema caotico y los que no, es realizar corridas de nuestro sistema para puntos relativamente cercanos unos a otros y medir la separación que existe despues de un tiempo determinado, si esta diferencia permanece pequeña sera un sistema regular, si incrementa exponencialmente con el tiempo es un sistema caotico. Para un sistema estocastico la diferencia tendra una distribución del error aleatoria.


Aplicaciones:
La teoria del caos es aplicada en muchas diciplinas: matemáticas, programación, microbiología, biología, ciencia de la computación, economía, etc.

Se trato realizar un sistema que tuviera un comportamiento caotico.
Lo que se hizo fue, en matlab generar una matriz de 20x20, la cual en primera instancia estaría llenada con 5's.
Posteriormente, de manera aleatoria, se generan 1's y 0's en esta matriz.
Un 0 significa que una familia latina vive en la casa
Un 1 significa que una familia Irlandesa vive en la casa
Y un 5 significa que la casa esta desavitada.

Posteriormente sobre esta "ciudad" inicial hacemos pequeñas perturbaciones, analisamos ciertos elementos escogidos al azar y cambiamos su valor.

Existen reglas para la mudanza y desalojo del inmueble.
En primera instancia ocurren los desalojos.
Para ambas familias, si tienen menos de 3 vecinos de su misma nacionalidad (en un cuadro de 3x3 con centro en su casa) desalojaran la casa (moriran!).

Para mudanzas desde otras ciudades (nuevos habitantes), se verifica en cada casilla que este desavitada la cantidad de vecinos de cada nacionalidad que tenga esa casilla.
Para la familia latina, si hay por lo menos otra familia latina en la vecindad de esa casilla y hay 3 o menos familias irlandesas en su vecindad, entonces se mudara a esa casilla.
Para la familia irlandesa, si hay por lo menos 2 vecinos en la vecindad de esa casilla y 2 o menos familias latinas, se mudara a esa casilla.

A continuación se anexan diversos resultados para cambios de tan solo 5 casas (~1% del total)

ciudad inicial

Y aunque parecen resultados muy caoticos, es importante notar que estos solo son unos de los resultados obtenidos, por lo general, los resultados 7 de cada 10, tenían cierta estructura carateristica y para pequeños cambios a la ciudad inicial, la estructura de la ciudad final no cambiaba fuera de algunos valores.

Se anexa el codigo del programa:
https://docs.google.com/Doc?docid=0AbozH-ZdB4BqZGY3em13d21fNGN2aHdrZjJk&hl=en